Difference between revisions of "4D Moser brute force search"

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(Pareto Maxima and Extremal Points)
 
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then this will indicate what percentage of the scan range is covered by x to y.
 
then this will indicate what percentage of the scan range is covered by x to y.
  
In the case x=372 and y=390 (which only takes about a minute to run), here is the [[stdout output]] and [[file output]] (for testing purposes).  
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In the case x=372 and y=390 (which only takes about a minute to run), here is the [[stdout output]] and [[file output]] (for testing purposes).  The full file output can be [http://abel.math.umu.se/~klasm/Data/HJ/PARETO-DATA-NEW.tar.gz found here].
  
  
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Using qhull, 58 extremals were found:
+
Using [http://www.qhull.org/ qhull], 58 extremals were found:
  
 
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A search for the linear equations bounding these points gave the following 145:
 
A search for the linear equations bounding these points gave the following 145:
 
Each row is of the form ax1 + bx2 + cx3 + dx4 + ex5 <= x6
 
Each row is of the form ax1 + bx2 + cx3 + dx4 + ex5 <= x6
 
+
          3         12         12         23         72         480
    3   12   12   23   72    72
+
          1           4           4           4         35         160
    1     4     4     4   35    35
+
          1           4           4           1         41         160
    1     4     4     1   41    41
+
          0           0           1           0         12         24
    0     0     1     0   12    12
+
          3         12         19         36         117         648
    3   12   19   36   117  117
+
          0           0           2           3         12         48
    0     0     2     3   12    12
+
          3         12         17         33         102         600
    3   12   17   33   102  102
+
          0           3           2           5         12         96
    0     3     2     5   12    12
+
          12         57         48         95         288       2064
    12   57   48   95   288  288
+
          4         19         16         19         134         688
    4   19   16   19   134  134
+
          4         19         16           4         164         688
    4   19   16     4   164  164
+
          0           3           4           9         24         144
    0     3     4     9   24    24
+
          0           3           2           3         18         96
    0     3     2     3   18    18
+
          0           3           2           0         24         96
    0     3     2     0   24    24
+
          3           4           4           7         24         168
    3     4     4     7   24    24
+
          1           1           1           1           8         43
    1     1     1     1     8    8
+
          2           2           2           3         13         86
    2     2     2     3   13    13
+
          3           2           4           6         27         138
    3     2     4     6   27    27
+
          6           2           9         12         60         270
    6     2     9   12   60    60
+
          6           6           7         12         42         282
    6     6     7   12   42    42
+
          20         14         15         18         106         650
    20   14   15   18   106  106
+
          9           6           8         12         51         318
    9     6     8   12   51    51
+
          27         18         20         24         141         858
    27   18   20   24   141  141
+
          34         16         19         15         110         832
    34   16   19   15   110  110
+
          7           2           4           4         20         154
    7     2     4     4   20    20
+
          6           0           4           3         15         120
    6     0     4     3   15    15
+
          18           6         11         12         60         426
    18     6   11   12   60    60
+
          18           6         10           9         57         402
    18     6   10     9   57    57
+
          11           4           6           5         35         248
    11     4     6     5   35    35
+
          9           3           5           3         30         201
    9     3     5     3   30    30
+
          3           0           2           0         12         60
    3     0     2     0   12    12
+
          16           6           9           8         54         370
    16     6     9     8   54    54
+
          0           0           0           0           1           1
    0     0     0     0     1     1
+
          0           0           0           1           4           8
    0     0     0     1     4    4
+
          0           1           1           3           8         44
    0     1     1     3     8    8
+
          1           2           1           3         16         72
    1     2     1     3   16    16
+
          3           8           5         15         40         280
    3     8     5   15   40    40
+
          1           2           1           9         26         106
    1     2     1     9   26    26
+
          7         14           7         29         80         504
    7   14     7   29   80    80
+
          0           2           1           2         16         64
    0     2     1     2   16    16
+
          0           1           0           0         16         32
    0     1     0     0   16    16
+
          0           1           0           6         16         56
    0     1     0     6   16    16
+
          0           7           0         18         40         224
    0     7     0   18   40    40
+
          0           5           3           9         20         160
    0     5     3     9   20    20
+
          10         15         14         25         84         602
    10   15   14   25   84    84
+
          1           1           1           3           9         50
    1     1     1     3     9    9
+
          9           6           8         18         57         342
    9     6     8   18   57    57
+
          9           6           7         18         57         330
    9     6     7   18   57    57
+
          1           0           1           3         13         42
    1     0     1     3   13    13
+
          9           3         10         18         69         342
    9     3   10   18   69    69
+
          5           2           3         10         37         162
    5     2     3   10   37    37
+
          3           1           2           6         23         98
    3     1     2     6   23    23
+
          2           2           1           3         19         80
    2     2     1     3   19    19
+
          3           3           2           6         18         120
    3     3     2     6   18    18
+
          2           2           1           9         27         112
    2     2     1     9   27    27
+
          14         14           7         31         93         560
    14   14     7   31   93    93
+
          6           9           7         15         42         336
    6     9     7   15   42    42
+
          1           1           1           2           6         44
    1     1     1     2     6    6
+
          2           2           1           2         22         80
    2     2     1     2   22    22
+
          6           6           5           6         42         240
    6     6     5     6   42    42
+
          30         21         19         27         138         912
    30   21   19   27   138  138
+
          3           2           2           4         13         94
    3     2     2     4   13    13
+
          15         10           8         19         62         440
    15   10     8   19   62    62
+
          6           4           3           7         29         176
    6     4     3     7   29    29
+
          21         14         12         25         82         616
    21   14   12   25   82    82
+
          81         54         49         72         357       2376
    81   54   49   72   357  357
+
          18         12           9         16         102         528
    18   12     9   16   102  102
+
          3           3           1         15         44         174
    3     3     1   15   44    44
+
          6           6           1         36         107         384
    6     6     1   36   107  107
+
          21         21           7         51         146         840
    21   21     7   51   146  146
+
          1           1           0           6         19         64
    1     1     0     6   19    19
+
          1           1           0           3         10         43
    1     1     0     3   10    10
+
          42         42           7         108         317       1680
    42   42     7   108   317  317
+
          7           7           1         18         54         280
    7     7     1   18   54    54
+
          2           1           1           1           6         48
    2     1     1     1     6    6
+
          9           3           4           9         24         198
    9     3     4     9   24    24
+
          2           1           1           3           9         56
    2     1     1     3     9    9
+
          3           2           1           9         27         118
    3     2     1     9   27    27
+
          30         12         11         39         117         720
    30   12   11   39   117  117
+
          15           6           5         21         63         366
    15     6     5   21   63    63
+
          3           1           1           3           8         62
    3     1     1     3     8    8
+
          6           5           1         30         90         328
    6     5     1   30   90    90
+
          6           2           1         12         36         160
    6     2     1   12   36    36
+
          9           3           2         15         45         222
    9     3     2   15   45    45
+
          12           3           2         18         51         264
    12     3     2   18   51    51
+
          3           1           1           2           5         56
    3     1     1     2     5    5
+
          4           1           2           2           9         80
    4     1     2     2     9    9
+
          2           0           1           1           3         34
    2     0     1     1     3    3
+
          16           3           6           8         21         272
    16     3     6     8   21    21
+
          12           6           5         15         45         306
    12     6     5   15   45    45
+
          39         24         17         51         153       1080
    39   24   17   51   153  153
+
          3           2           1           5         15         90
    3     2     1     5   15    15
+
          17         12           6         28         84         520
    17   12     6   28   84    84
+
          15           9           7         18         57         408
    15     9     7   18   57    57
+
          9           4           3           9         23         200
    9     4     3     9   23    23
+
          33         24         11         57         169       1032
    33   24   11   57   169  169
+
          21         14           7         33         97         616
    21   14     7   33   97    97
+
          19           6         10           9         55         408
    19     6   10     9   55    55
+
          15           5           8           5         47         328
    15     5     8     5   47    47
+
          8           2           4           3         21         160
    8     2     4     3   21    21
+
          4           1           2           1         11         80
    4     1     2     1   11    11
+
          6           5           1         14         42         216
    6     5     1   14   42    42
+
          66         63         11         162         478       2544
    66   63   11   162   478  478
+
          8           3           4           4         24         176
    8     3     4     4   24    24
+
          7           3           3           4         19         152
    7     3     3     4   19    19
+
          6           2           3           3         17         128
    6     2     3     3   17    17
+
          48         18         17         24         132         960
    48   18   17   24   132  132
+
          8           3           3           4         20         160
    8     3     3     4   20    20
+
          6           2           2           3         13         112
    6     2     2     3   13    13
+
          9           3           2         12         36         201
    9     3     2   12   36    36
+
          6           2           1           8         24         132
    6     2     1     8   24    24
+
          12           3           2         12         33         222
    12     3     2   12   33    33
+
          6           2           1           6         16         118
    6     2     1     6   16    16
+
          18           7           3         18         46         368
    18     7     3   18   46    46
+
          5           2           1           5         13         104
    5     2     1     5   13    13
+
          3           1           1           1           7         56
    3     1     1     1     7    7
+
          33         12         11         15         93         648
    33   12   11   15   93    93
+
          6           3           2           3         30         144
    6     3     2     3   30    30
+
          21           3           2         18         51         336
    21     3     2   18   51    51
+
          1           0           0           1           4         16
    1     0     0     1     4    4
+
          14           3           3           9         24         226
    14     3     3     9   24    24
+
          56         11         12         36         97         896
    56   11   12   36   97    97
+
          46           9           6         36         99         746
    46     9     6   36   99    99
+
          56           9           6         46         129         896
    56     9     6   46   129  129
+
          9           0           4           4         12         144
    9     0     4     4   12    12
+
          18           3           6           8         21         288
    18     3     6     8   21    21
+
          4           1           1           2           5         64
    4     1     1     2     5    5
+
          1           0           0           0           8         16
    1     0     0     0     8    8
+
          24           5           5         15         42         384
    24     5     5   15   42    42
+
          16           3           2         12         35         256
    16     3     2   12   35    35
+
          9           0           4           0         24         144
    9     0     4     0   24    24
+
          12           2           4           3         21         192
    12     2     4     3   21    21
+
          8           2           2           3         13         128
    8     2     2     3   13    13
+
          21           4           2         16         48         336
    21     4     2   16   48    48
+
          84         16           9         64         186       1344
    84   16     9   64   186  186
+
          6           1           2           1         11         96
    6     1     2     1   11    11
+
          4           1           1           1           7         64
    4     1     1     1     7    7
+
          48         12         11         15         93         768
    48   12   11   15   93    93
+
          26           6           3         18         48         418
    26     6     3   18   48    48
+
          28           7           3         18         46         448
    28     7     3   18   46    46
+
          28           6           3         20         56         448
    28     6     3   20   56    56
+
          8           2           1           5         13         128
    8     2     1     5   13    13
+
          8           2           1           2         22         128
    8     2     1     2   22    22
+
          12           3           2           3         30         192
    12     3     2     3   30    30
+
          4           1           0           0         16         64
    4     1     0     0   16    16
+

Latest revision as of 05:12, 7 July 2009

The brute force search program requires first building a preliminary lookup table, and then a refined lookup table, to determine the Pareto-optimal statistics for all forbidden Level 2 sets. Details of the lookup table construction are here.

The basic idea is to run over pairs of Level 1 slices and Level 3 slices, which are 3D Moser sets. For each such pair, compute the forbidden Level 2 set, then use the lookup table to find the optimal statistics for that pair, add that to a global table of feasible (a,b,c,d,e) statistics for 4D Moser sets, and iterate. However, the total number of such pairs is [math]3813884 \times 3813884 \sim 1.4 \times 10^{13}[/math], which is computationally infeasible.

However, one can use symmetries to cut this number down. Look at the "a" corners of the Level 1 and Level 3 sets; these are two 8-bit strings (which we call the "a-signatures" of the Level1 and Level3 sets), so there are [math]2^{16}[/math] possible choices for these. Actually we can eliminate those choices for which a=1 and a=2, because if (0,b,c,d,e) is a feasible statistic then (1,b,c,d,e) and (2,b,c,d,e) is feasible also (just pick a "b", "c", "d", or "e" point which is not in the set, and then pick a pair of "a" points with that midpoint). In fact (3,b,c,d,e) is also feasible, see Lemma below.

For the remaining configurations, one exploits the symmetry group of [math][3]^4[/math], which has order [math]4! \times 2^4 = 384[/math]. There are 391 remaining equivalence classes; for each equivalence class, we pick a representative which minimises the number of Level1 x Level3 pairs. A table of these representatives can be found here. A table of how many Moser sets there are for each a-signature can be found here.

With these reductions, the number of pairs to check drops to 62 billion (or more precisely, 62009590818).

The code to scan the pairs is here. When compiled (say, as scan.exe), the format is

 scan x y

which will scan the signature-pair classes from x to y, where [math]0 \leq x \leq y \leq 390[/math], and output the relevant feasible statistics to stdout and to an output file. If instead one types

 scan x y count

then this will indicate what percentage of the scan range is covered by x to y.

In the case x=372 and y=390 (which only takes about a minute to run), here is the stdout output and file output (for testing purposes). The full file output can be found here.


Lemma Suppose that (0,b,c,d,e) is a feasible statistic for a 4D Moser set. Then (3,b,c,d,e) is also feasible.

Proof Let A be a 4D Moser set with statistics (0,b,c,d,e). It suffices to show that we can add three "a" points to A and still have a Moser set, i.e. one can find three "a" points whose three midpoints are omitted by A. We assume for contradiction that this is not possible.

Suppose first that A contains a "d" point, such as 2221. Then A must omit either 2211 or 2231; without loss of generality we may assume that it omits 2211. Similarly we may assume it omits 2121 and 1221. Then we can add 1131, 1311, 3111 to A, a contradiction. Thus we may assume that A contains no "d" points.

Now suppose that A omits a "c" point, such as 2211. Then one can add 3333, 3111, 1311 to A, a contradiction. Thus we may assume that A contains all "c" points, which in particular implies that A omits the "e" point 2222.

Since A contains all the "c" points, it must omit a "b" point, such as 2111. But then 3111, 1111, 3333 can be added to the set, a contradiction.

Pareto Maxima and Extremal Points

This routine was run on a Linux cluster, taking around two hours. The output files were collated, there were 390 Pareto maxima:

    3    16    24     0     0
    4    14    19     2     0
    4    15    24     0     0
    4    16     8     4     1
    4    16    14     4     0
    4    16    23     0     0
    4    17    21     0     0
    4    18    19     0     0
    5    12    12     4     1
    5    12    13     6     0
    5    12    15     5     0
    5    12    19     2     0
    5    13    10     4     1
    5    13    14     5     0
    5    13    21     1     0
    5    15     9     4     1
    5    15    12     3     1
    5    15    13     5     0
    5    15    18     3     0
    5    15    20     1     0
    5    15    22     0     0
    5    16     7     4     1
    5    16    10     3     1
    5    16    11     5     0
    5    16    12     2     1
    5    16    16     3     0
    5    16    19     1     0
    5    16    21     0     0
    5    17    12     4     0
    5    17    14     3     0
    5    17    16     2     0
    5    17    18     1     0
    5    17    20     0     0
    5    18    13     3     0
    5    18    14     2     0
    5    20     8     4     0
    5    20    10     3     0
    5    20    13     2     0
    5    20    14     1     0
    5    20    18     0     0
    5    21    10     2     0
    5    21    15     0     0
    5    22    13     0     0
    6     8    12     8     0
    6    10    11     4     1
    6    11    12     7     0
    6    12    10     7     0
    6    12    13     5     0
    6    12    18     4     0
    6    13    16     4     0
    6    14     9     4     1
    6    14     9     7     0
    6    14    12     6     0
    6    14    16     3     0
    6    14    19     1     0
    6    14    21     0     0
    6    15     7     4     1
    6    15    10     3     1
    6    15    10     6     0
    6    15    11     2     1
    6    15    12     5     0
    6    15    15     4     0
    6    15    20     0     0
    6    16     7     3     1
    6    16     8     6     0
    6    16     9     2     1
    6    16    10     5     0
    6    16    12     1     1
    6    16    13     4     0
    6    16    14     3     0
    6    16    18     2     0
    6    16    19     0     0
    6    17     9     5     0
    6    17    10     4     0
    6    17    13     3     0
    6    17    15     2     0
    6    17    17     1     0
    6    17    18     0     0
    6    18    13     2     0
    6    18    16     1     0
    6    18    17     0     0
    6    19     9     4     0
    6    19    12     3     0
    6    19    15     1     0
    6    20     7     4     0
    6    20     9     3     0
    6    20    12     2     0
    6    20    13     1     0
    6    20    15     0     0
    6    21     8     3     0
    6    21     9     2     0
    6    21    12     1     0
    6    21    14     0     0
    6    22     7     3     0
    6    22     8     2     0
    6    22    10     1     0
    6    23     9     1     0
    6    24     7     2     0
    6    24     8     1     0
    6    24    12     0     0
    6    25     9     0     0
    6    26     7     0     0
    7     8     6     8     0
    7    11     9     4     1
    7    11    12     6     0
    7    12     8     4     1
    7    12     8     6     0
    7    12    12     3     1
    7    12    12     5     0
    7    12    13     4     0
    7    12    15     3     0
    7    12    17     2     0
    7    13     7     4     1
    7    13    10     3     1
    7    13    11     5     0
    7    13    12     2     1
    7    13    12     4     0
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    7    13    16     2     0
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   13     9     2     0     0
   13    10     1     0     0
   13    12     0     0     0
   14     4     3     0     0
   14     5     2     0     0
   14     6     1     0     0
   14     8     0     0     0
   15     4     0     0     0
   16     0     0     0     0

Using qhull, 58 extremals were found:

    3     16     24      0      0 
    4     14     19      2      0 
    4     15     24      0      0 
    4     16      8      4      1 
    4     16     14      4      0 
    4     18     19      0      0 
    5     12     12      4      1 
    5     12     19      2      0 
    5     13     21      1      0 
    5     15      9      4      1 
    5     15     12      3      1 
    5     15     18      3      0 
    5     16      7      4      1 
    5     16     10      3      1 
    5     16     12      2      1 
    5     20      8      4      0 
    5     20     18      0      0 
    5     21     10      2      0 
    6      8     12      8      0 
    6     10     11      4      1 
    6     12     18      4      0 
    6     14      9      4      1 
    6     14      9      7      0 
    6     14     12      6      0 
    6     14     21      0      0 
    6     15      7      4      1 
    6     16     18      2      0 
    7     12     12      3      1 
    7     14      6      4      1 
    7     14      6      7      0 
    7     16     12      0      1 
    7     30      1      0      0 
    8      8      0      8      0 
    8      8      9      7      0 
    8      8     12      6      0 
    8      9      9      4      1 
    8      9     12      3      1 
    8      9     15      3      0 
    8     10      7      4      1 
    8     10     12      2      1 
    8     11      6      4      1 
    8     11     10      2      1 
    8     12     12      1      1 
    8     12     18      0      0 
    8     13     12      0      1 
    8     14      0      7      0 
    8     14      6      6      0 
    8     14      8      1      1 
    8     15      6      3      1 
    8     15      7      1      1 
    8     16      4      3      1 
    8     16      6      2      1 
    8     16      9      0      1 
    8     16     16      0      0 
    8     26      0      1      0 
    8     32      0      0      0 
   11      8      4      4      0 
   16      0      0      0      0

A search for the linear equations bounding these points gave the following 145: Each row is of the form ax1 + bx2 + cx3 + dx4 + ex5 <= x6

         3          12          12          23          72         480
          1           4           4           4          35         160
          1           4           4           1          41         160
          0           0           1           0          12          24
          3          12          19          36         117         648
          0           0           2           3          12          48
          3          12          17          33         102         600
          0           3           2           5          12          96
         12          57          48          95         288        2064
          4          19          16          19         134         688
          4          19          16           4         164         688
          0           3           4           9          24         144
          0           3           2           3          18          96
          0           3           2           0          24          96
          3           4           4           7          24         168
          1           1           1           1           8          43
          2           2           2           3          13          86
          3           2           4           6          27         138
          6           2           9          12          60         270
          6           6           7          12          42         282
         20          14          15          18         106         650
          9           6           8          12          51         318
         27          18          20          24         141         858
         34          16          19          15         110         832
          7           2           4           4          20         154
          6           0           4           3          15         120
         18           6          11          12          60         426
         18           6          10           9          57         402
         11           4           6           5          35         248
          9           3           5           3          30         201
          3           0           2           0          12          60
         16           6           9           8          54         370
          0           0           0           0           1           1
          0           0           0           1           4           8
          0           1           1           3           8          44
          1           2           1           3          16          72
          3           8           5          15          40         280
          1           2           1           9          26         106
          7          14           7          29          80         504
          0           2           1           2          16          64
          0           1           0           0          16          32
          0           1           0           6          16          56
          0           7           0          18          40         224
          0           5           3           9          20         160
         10          15          14          25          84         602
          1           1           1           3           9          50
          9           6           8          18          57         342
          9           6           7          18          57         330
          1           0           1           3          13          42
          9           3          10          18          69         342
          5           2           3          10          37         162
          3           1           2           6          23          98
          2           2           1           3          19          80
          3           3           2           6          18         120
          2           2           1           9          27         112
         14          14           7          31          93         560
          6           9           7          15          42         336
          1           1           1           2           6          44
          2           2           1           2          22          80
          6           6           5           6          42         240
         30          21          19          27         138         912
          3           2           2           4          13          94
         15          10           8          19          62         440
          6           4           3           7          29         176
         21          14          12          25          82         616
         81          54          49          72         357        2376
         18          12           9          16         102         528
          3           3           1          15          44         174
          6           6           1          36         107         384
         21          21           7          51         146         840
          1           1           0           6          19          64
          1           1           0           3          10          43
         42          42           7         108         317        1680
          7           7           1          18          54         280
          2           1           1           1           6          48
          9           3           4           9          24         198
          2           1           1           3           9          56
          3           2           1           9          27         118
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